أنظمة العد: الفرق بين العشري والثنائي والسداسي عشري

ما هو نظام العد؟ نظام العد طريقة لكتابة الأرقام والكميات باستخدام مجموعة محددة من الرموز. عدد هذه الرموز يسمى الأساس (Base)، وهو الذي يحدد اسم النظام وطريقة عمله.

نستخدم في حياتنا اليومية النظام العشري، وهو نظام من عشرة رموز من 0 إلى 9. أما الكمبيوتر فيعتمد على النظام الثنائي، الذي يستخدم رمزين فقط هما 0 و1. وهناك أيضًا النظام السداسي عشري الذي تراه كثيرًا في رموز الألوان والبرمجة.

في هذا المقال نشرح كيف يعمل كل نظام، والفرق بينها، ولماذا تهمك هذه المعرفة حتى لو لم تكن مبرمجًا.

كيف يعمل نظام العد؟

تعتمد أغلب أنظمة العد على فكرة القيمة المكانية (Positional Value). معنى ذلك أن قيمة الرقم تتغير بحسب موقعه داخل العدد، لا بحسب شكله وحده.

خذ العدد 245 في النظام العشري مثالًا. كل خانة فيه تمثل قوة مختلفة للأساس 10:

  2     4     5
 ×100  ×10   ×1
 200 + 40  +  5  = 245

الرقم 5 في خانة الآحاد، والرقم 4 في خانة العشرات، والرقم 2 في خانة المئات. وإذا كتبناه بالأسس:

245 = (2 × 10²) + (4 × 10¹) + (5 × 10⁰)

نلاحظ أن كل خانة تمثل قوة أعلى من الأساس كلما اتجهنا إلى اليسار. وأي عدد غير صفر مرفوع للأس صفر يساوي 1، لذلك 10⁰ = 1.

المبدأ نفسه في كل الأنظمة

إذا عرفت هذا المبدأ في النظام العشري، فستفهم بقية الأنظمة بسهولة. الاختلاف الوحيد هو الأساس، أي عدد الرموز المتاحة. في الثنائي تكون القوى كلها للعدد 2، وفي السداسي عشري للعدد 16.

الأنظمة الرئيسية الأربعة

أولًا: النظام العشري (Decimal)

هو النظام الذي نستخدمه في الحساب والكتابة اليومية. تمثل كل خانة قوة من قوى العدد 10.

مثال: العدد 1234 يساوي (1 × 10³) + (2 × 10²) + (3 × 10¹) + (4 × 10⁰)، أي 1000 + 200 + 30 + 4.

ثانيًا: النظام الثنائي (Binary)

هو النظام الأساسي لتمثيل البيانات داخل الأجهزة الرقمية. السبب بسيط: الدوائر الإلكترونية تستطيع التمييز بين حالتين، مثل وجود إشارة كهربائية أو عدمها، ويمكن تمثيل هاتين الحالتين بالرقمين 1 و0.

كل خانة ثنائية تسمى بت (Bit)، وهي أصغر وحدة لتمثيل البيانات. ومجموعة من 8 بتات تسمى بايت (Byte).

تحويل من الثنائي إلى العشري

لنحوّل العدد الثنائي 1101. نبدأ من اليمين ونضرب كل خانة في قوة العدد 2 المناسبة:

النتيجة: 8 + 4 + 0 + 1 = 13، أي أن (1101)₂ = (13)₁₀.

تساعدك هذه السلسلة على التحويل بسرعة: 1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، 128، وكل رقم ضعف الذي قبله. فالعدد 10101 يساوي 16 + 4 + 1 = 21.

تحويل من العشري إلى الثنائي

لتحويل 13 إلى الثنائي نقسم على 2 ونسجل الباقي في كل مرة:

1. 13 ÷ 2 = 6 والباقي 1
2. 6 ÷ 2 = 3 والباقي 0
3. 3 ÷ 2 = 1 والباقي 1
4. 1 ÷ 2 = 0 والباقي 1

نقرأ البواقي من الأسفل إلى الأعلى فنحصل على 1101.

ثالثًا: النظام الثماني (Octal)

يعتمد على الأساس 8 ويستخدم الأرقام من 0 إلى 7 فقط. تظهر فيه القوى بالأساس 8 مثل 8⁰ و8¹ و8² وهكذا.

مثال على تحويل (12570)₈ إلى العشري:

(1 × 8⁴) + (2 × 8³) + (5 × 8²) + (7 × 8¹) + (0 × 8⁰)

= 4096 + 1024 + 320 + 56 + 0 = 5496

يظهر النظام الثماني اليوم بشكل أساسي في أنظمة Linux وUnix، خاصة في صلاحيات الملفات. فالأمر chmod 755 filename يستخدم الرقم 755، حيث يمثل كل رقم مجموعة صلاحيات: القراءة والكتابة والتنفيذ للمالك، ثم القراءة والتنفيذ للمجموعة، ثم القراءة والتنفيذ لبقية المستخدمين.

تحذير: تغيير صلاحيات الملفات بأمر chmod قد يمنع البرامج من العمل أو يفتح ملفاتك لأشخاص لا يجب أن يصلوا إليها. لا تنفذ هذا الأمر على ملفات النظام إلا إذا كنت تفهم أثره، وخذ نسخة احتياطية قبل أي تغيير مهم.

رابعًا: النظام السداسي عشري (Hexadecimal)

يعتمد على الأساس 16، ويحتاج إلى 16 رمزًا. لذلك نستخدم الأحرف من A إلى F لتمثيل القيم من 10 إلى 15:

مثال على (FDE19)₁₆: نحول الأحرف أولًا، فـ F = 15 وD = 13 وE = 14. ثم:

(15 × 16⁴) + (13 × 16³) + (14 × 16²) + (1 × 16¹) + (9 × 16⁰)

= 983040 + 53248 + 3584 + 16 + 9 = 1039897

لماذا يستخدم المبرمجون السداسي عشري؟

لأن كل 4 خانات ثنائية تقابل خانة واحدة سداسية عشرية. فبدل أن تكتب 11111111 يمكنك أن تكتب FF، وكلاهما يمثل العدد 255 عشريًا. هذا يجعل القيم الطويلة أقصر وأسهل في القراءة.

لماذا يهمك كمستخدم عادي؟

قد تظن أن هذه المفاهيم تخص المبرمجين فقط، لكنها تظهر في حياتك اليومية أكثر مما تتوقع:

• رموز الألوان في المواقع: اللون #FF0000 أحمر، و#FFFFFF أبيض. كل جزء من الرمز يمثل شدة أحد الألوان الأساسية الأحمر والأخضر والأزرق، ويتراوح بين 00 وFF.
• رموز الأخطاء في ويندوز: كثير من رموز الأخطاء تظهر بصيغة سداسية عشرية تبدأ بـ 0x. لا تحتاج إلى فك شفرتها لتحل المشكلة، لكن معرفة أنها سداسية تساعدك على فهم ما تراه.
• عنوان IP: عنوان الإنترنت في الأساس أرقام ثنائية مجمعة في أربعة أجزاء. إذا أردت فهم الفرق بين IPv4 وIPv6، فهذا الأساس يساعدك كثيرًا، ويمكنك قراءة ما هو عنوان IP؟.
• سعة التخزين: تحتاج إلى فهم الفرق بين وحدات 1000 و1024 حتى لا تعتقد أن القرص فقد جزءًا من سعته. سنشرح هذا في قسم الأخطاء الشائعة، ويمكنك أيضًا مراجعة SSD أم HDD؟ لتعرف كيف تختار القرص المناسب.

كيف يمثل الكمبيوتر الحروف؟

إذا كان الكمبيوتر لا يعرف إلا 0 و1، فكيف يتعامل مع الحروف؟ الجواب أن أنظمة الترميز تربط كل حرف برقم، ثم يُحفظ هذا الرقم بصيغة ثنائية.

من أشهر هذه الأنظمة ASCII، وهو مناسب للحروف الإنجليزية والأرقام والرموز الأساسية. أما Unicode فيغطي لغات كثيرة من العالم، ومنها العربية.

على سبيل المثال، الحرف I في ترميز ASCII قيمته العشرية 73، وقيمته الثنائية 01001001. أما الحرف A فقيمته 65، وقيمته الثنائية 01000001.

أخطاء شائعة في فهم أنظمة العد

1. الظن بأن أنظمة العد تختلف في القيمة

أنظمة العد لا تغير الرقم نفسه، بل تغير طريقة كتابته. فالعدد 13 يساوي 1101 بالثنائي و D بالسداسي عشري. القيمة واحدة، والاختلاف في الشكل والأساس.

2. الخلط بين 1000 و1024 في سعة التخزين

الشركات المصنعة للأقراص تستخدم غالبًا النظام العشري عند الإعلان عن السعة، فـ GB تعني 1,000,000,000 بايت. بينما تعرض بعض أنظمة التشغيل القيم بوحدات مبنية على قوى العدد 2، مثل GiB وتعني 1,073,741,824 بايت.

لذلك قد تجد قرصًا معلن سعته 500 GB يظهر في بعض البرامج بنحو 465.7 GiB. القرص لم يفقد شيئًا، والفرق في طريقة الحساب والتسمية.

3. الاعتقاد بأن الثنائي أقل شأنًا من العشري

النظام الثنائي ليس نسخة ناقصة من العشري. هو نظام مناسب لطريقة عمل الدوائر الرقمية، والنظام العشري مناسب لاستخدام الإنسان. كل نظام يخدم غرضه.

كيف تحوّل الأرقام بين الأنظمة دون حساب يدوي؟

إذا كنت تستخدم ويندوز 11، فتطبيق Calculator يتضمن وضع المبرمج الذي يحوّل بين الأنظمة الأربعة.

1. افتح تطبيق Calculator من قائمة ابدأ.
2. اضغط على زر القائمة (☰) في أعلى النافذة.
3. اختر Programmer (المبرمج).
4. اختر النظام الذي تكتب به الرقم، وهي DEC للعشري، وBIN للثنائي، وOCT للثماني، وHEX للسداسي عشري.
5. اكتب الرقم، ثم اختر النظام الآخر لتشاهد القيمة نفسها بالصيغة الجديدة.

تأكد من الترتيب الدقيق لخيارات وضع Programmer وظهور زر OCT في أحدث إصدار من تطبيق Calculator على ويندوز 11

الأسئلة الشائعة

الخلاصة

• نظام العد طريقة لكتابة الأرقام باستخدام عدد محدد من الرموز، ويسمى عدد الرموز الأساس.
• العشري أساسه 10، ونستخدمه في حياتنا اليومية.
• الثنائي أساسه 2، ويعتمد عليه الكمبيوتر لتمثيل البيانات بالأصفار والآحاد.
• الثماني أساسه 8، ويظهر خاصة في صلاحيات الملفات في Linux وUnix.
• السداسي عشري أساسه 16، ويختصر الأرقام الثنائية الطويلة، ويظهر في رموز الألوان ورموز الأخطاء.
• أنظمة العد تكتب القيمة نفسها بأشكال مختلفة، ولا تغيّر قيمة الرقم.
• تطبيق Calculator في ويندوز 11 يساعدك على التحويل بين الأنظمة دون حساب يدوي.